Деякі скінченно-різнецеві методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь

скачать (3590.7 kb.)

1   2   3
Метод Адамса
Цей метод чисельного інтегрування розроблений Адамсом в 1855 році на прохання видомого англійського алтелериста Башфора, який займався внутрішньою балістикою. В подальшому цей метод був забутий і знову відкритий був норвезьким математиком Штермером. Популяризація метода Адамса і подальше його вдосконалення пов’язане із іменем Крилова.

Запишемо рівняння першого порядку
З початковими умовами (1,2)
Нехай xi(i=0,1,2…)-система рівнозначних значень з кроком h i y(xi). Очевидно маємо
(3)
В силу другої інтерполяційної формули Ньютона з точністб до різниць четвертого порядку отримуємо:
(4)

де або (4а)

Підставляю вираз (4а) в формулу (3) і враховуючи те, що будемо мати

З відси отримуємо формулу експоляриціональну Адамса
(5)
Для початкового процессу потрібно чотири початкових значення y0, y1, y2, y3, - початковий відрізок, який приділяє, виходячи із початкових умов (2), яким-небуть чисельним методом. Мажна наприклад використати метод Рунге-Кутта або розкласти в ряд Тейлора

Де i=1,2,3 (або i=-1,1,2) із відповідною зміною нумерування. Знаючи ці значення, із рівнянь (1) можна знайти значення похідних і скласти таблицю
(6)
Подальше значення yi (i=4,5…) шуканого розвязку можна крок за кроком обчислювати за формулою Адамса, поповнюючи по мірі можливості таблицю різниць (6)

Вирахувавши перше наближення для по формулі



Визначити підрахувати кінцеві різниці
(7)
а потім знайти друге наближення для більш точній формулі
(8)



Якщо і відрізняються лишень на дкілька одиниць останнього зберігаючого десяткового розряду, то можна поставити а потім знайшовши перерахувавши кінцеві різниці (7). Після цього, потрібно знову знайти по формулі (8) Поту цей крок h повинен бути таким, щоб цей перерахунок був зміненим.

На практиці крок h вибирають малим, щоб можна було знехтувати членом в формулі (8)

Якщо за розбіжність величин і суттєва, то потрібно зменшити крок h.

Звичайно крок h зменшують рівно в 2 рази. Можна показати, як в цьому випадку, маючи до деякого значення і таблицю величин хj, yj, Yj=hyj (j<=i) з кроком , можна просто побудувати таблицю величин з кроком

На основі формули (4) будемо мати

(9)

Де Звідси, і і враховуючи, що заходимо
(10)
Аналогічно при із формули (9) отримаєм, що аргументу відповідає значення
(11)
Що стосується значень Yi-1 i Yi, то вони знаходяться в старій таблиці. Після цього складаємо початковий відрізок для нової таблиці:

і знаходимо кінцеві різниці:


Далі таблиця будується простим способом, подальшою модифікацією формули (5):

Для роботи на компютерах формулу Адамса (5) вигідно використовувати в розкритому виді. Враховуючи, що

Після цього маємо: причому



Метод Крилова
Для спрощеня запису обмежимось розглядом диференціальних рівнянь першого порядка
(1)
З початковими умовами

Введемо спочатку ряд допоміжних формул



В силу формули Адамса отримаємо
(2)
Введемо позначення

Формула (2) називається формулою похилого рядка, так як в ній використовуються різниці, які знаходяться на діагоналі таблиці різниць. Враховуючи, що

Із формули (2) будемо мати

Звідси отримуємо першу допоміжну формулу – яку ще можна назвати перша формула ламаного рядка
(3)
Далі враховуючи, що і із формули (3) виводимо другу формулу – друга формула ламаного рядка
(4)

Якщо отримаємо формулу горизонтального рядка
(5)
Підмітимо, що формулу (5) можна отримати безпосередньо за допомогою інтегрування, в межах від xi до xi+1 розкладанням за допомогою першої інтерполяційної формули Ньютона:

Перейдемо до опису метода Крилова послідовних наближень. Перше наближення полягає у тому, щоб знайти наближене значення

Після цього знайдемо і складає різницю , де .

Значення які знайшли заносимо в розділ (І) основного бланку (таблиця 1)
Схема обчислення відрізка методом послідовних наближень

№ наближення

і

x

y
















І

0

1

x0

x1

















ІІ

0

1

2

x0

x1

x2













ІІІ

0

1

2

3

x0

x1

x2

x3















Далі переходимо до другого наближення. Для того, використовуємо дані із знаходження ламаних рядків, обчислюємо значення і :
(7)

(8)
Двочленні формули отримуються відповідно із формули (5) при і=0 і із формули (2) при і=1 в результаті відкидання різниць порядка вищого ніж перший.

Таким чином, отримаємо можливість знайти

і ,
в результаті чого можна порахувати


і скласти різниці


Отримані результати записуємо у таблицю в розділ 2 основного бланка

Для знаходження третього наближення застосовуємо трьохчленні формули, які отримуються із формули (2) при і=2 після відкидання різниць третього порядку. Обчислюємо значення із трьохчленних формул:
(9)

(10)

(11)

Звідси можна знайти


і обчислити . Після цього можна заповнити розділ ІІІ в таблиці (І) знайшовши потрібні різниці звичайним порядком.
Метод Чаплигіна

Метод Чаплигіна є одним із найбільш точним із аналітичних методів наближеного інтегрування диф. рівнянь причому допускаючи просту оцінку погрішності. Суть полягає у тому, що шуканий розв’язок апроксимуючись двома послідовними функціями

задовольняючи подвійну нерівність


і початковими умовами причому такими, що на при . Геометрично це означає, що шукана інтегральна крива стискається в як завгодно малий криволінійний сектор А0ВnCn (мал. 1).

Якщо положити то максимальна абсолютна погрішність наближеного розв’язку буде рівна ця погрішність на кожному кроці визначається безпосередньо.p0192

Покажемо ідею метода Чаплигіна для диф. рівнянь першого порядку
(1)

з початковою умовою

(2)
Причому будемо мати на увазі, що права частина непереривна і має неперервні похідні і в деякому околі початкової точки . Метод побудований на одній лемі.

Лема Чаплигіна про інтегральні нерівності.

Нехай - диференціальний оператор, який відповідає диференціальному рівнянню (1), і інтеграл рівняння (1)
(3)
яке задовольняє початкову умову і вибраний при .

Якщо функція задовольняючи умови:
(4)

і



то на відрізку виконується нерівність

(5)

так чи однаке функція і являється наближеним розв’язком .

Аналогічно і для функції виконуються умови:

(6)



то на відрізку має місце нерівність , (7)

так чи однаке функція являється верхнім наближеним розв’язком у.
Доведення: Достатньо доказати лиш одне із нерівностей (5) або (7). Доведемо наприклад нерівність (5). Із формул (3) і (4) маємо і Звіди
(8)

Де

(9)
Функція втрачає зміст при х, для якого . В цьому випадку


В силу наведених вище умов функція р(х) визначена і неперервна на відрізку .

Помножимо обидві частини диференціальної нерівності (8) на інтегруючий множник будемо мати
(10)
Звідси інтегруючи нерівність (10) в межах від до , де отримаєм , або так як то остаточно знаходимо при , що і потрібно було довести.

194-Чисельні методи

Висновок:
Недоліком деяких з алгоритмів, яквляється те, що деякі з них не мають амостарту, і необхідно використовувати другий алгоритм для отримання кількох пешрих точок фазовоо простору. Недоліком алгоритму Верле полягає в тому, що нова швидкість знаходиться по формулі вираховуванням близьких по величині чисел. Така операція обумовлює втрату значущих цифр і може привести до значного збільшеня погрішності округлення.

Як вже підкреслювалося, не слід віддавати перевагу одному якому-небудь алгоритму. Успіхи в комп'ютерній технології нині дозволяють легко експерементувати з різними алгоритмами для разнообразних динамічних систем.

Список використаної літератури:


  1. Х. Гулд, Я.Тобочник. Компьютерное моделирование в физике: часть1.

  2. В.А.Ильина, П.К. Силаев. Численные методы для физиков-теоретиков часть2. Москва, Ижевск 2004р.

  3. сайт http://uk.wikipedia.org/wiki/Метод_Рунге_—_Кутти

  4. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений том. 2 Москва 1959р.

  5. Б.П. Демидович,И.А.Марон, З.Шувалова. Численные методы анализа. «Наука» Москва 1967р.

1   2   3

Метод Адамса



Учебный контент

© ref.rushkolnik.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации