Высшая математика

скачать (3179.4 kb.)

  1   2   3   4
Контрольная работа №1
Вариант 5
Задача №1. Даны четыре вектора , , , в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение.

Проверим, образуют ли векторы , , базис.

Три вектора образуют базис, если они не лежат в одной плоскости. Найдем смешанное произведение векторов , , .



Поскольку смешенное произведение векторов не равно 0, то векторы , , образуют базис.

Найдем координаты вектора в базисе .
.
Подставляя координаты векторов, получим систему линейных алгебраических уравнений, которую решим по формулам Крамера.

Воспользуемся формулами Крамера:

, , ,
где - определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.
== 42 + 0 +18 +0 +30 - 28 = 62;

= 42 + 0 - 156 +0 + 30 - 21 = -105;

= 42 +0 +36 +0 + 312 - 56 = 334;

= 312 + 40 -18 +36 - 30 -208 = 132.
Найдем , , .

. Ответ:

Задача №2 Даны вершин пирамиды , , , . Найти:

длину ребра ;

угол между ребрами и ;

угол между ребром и гранью ;

площадь грани ;

  1. объем пирамиды;

уравнения прямой ;

уравнение плоскости ;

уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

Сделать чертеж.
Решение:

1) Длина d отрезка, проходящего через точки с координатами , вычисляется по формуле:

Поставим в формулу координаты точек и .

Получим
.
2) Угол ? между векторами находится по формуле:
=
Найдем координаты векторов и .

= .

=.

Тогда = =.

радиан.

) Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:

, где - нормальный вектор плоскости.

Так как и ,

то вектор можно найти как векторное произведение векторов и .

== .

Нормальный вектор плоскости равен (7, 26, -8).

Тогда == = .

радиан.

) Найдем площадь грани по формуле

Из пункта 3 имеем =.

Тогда = = = .

= = .

) Объем пирамиды вычислим по формуле

= ,

где - смешанное произведение векторов , , .

Вычислим .

== =.

Значит, ==.

) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:

Подставим координаты точки и вектора , получим:

= = - канонические уравнения прямой .

) Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярной вектору имеет вид:

.

Нормальный вектор плоскости имеет координаты (7, 26, -8) (вычислено п. 3).

, откуда - уравнение плоскости .

) Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Направляющим вектором прямой является нормальный вектор плоскости - = (7, 26, -8).

Тогда - уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Сделаем чертеж:





Задача №3 Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку
Решение.



Т.к. каждая точка линии является центром окружности, касающейся оси абсцисс, то радиус окружности в произвольной точке линии будет перпендикулярен оси абсцисс. Значит, линия параллельна оси абсцисс.

Тогда уравнение линии имеет вид:



Ответ: .
Задача №4. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами. 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.


Решение

Докажем совместность системы. По теореме Кронекера-Капелли если ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система совместна. Найдем ранг расширенной матрицы. Сведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Умножим первую строку матрицы на -4 и прибавим ко второй.

Умножим первую строку матрицы на -2 и прибавим к третьей.

Далее вторую строку матрицы прибавим к третьей, умноженной на -7.
.
Получили ступенчатую матрицу. и равен количеству неизвестных, следовательно, система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение.

Решим систему методом Гаусса.

Запишем систему линейных уравнений полученную после преобразования матрицы .
.


(3, 8, 13) - решение системы.
. Решим систему матричным способом. Запишем систему в матричной форме , где
, ,
Решение системы в матричной форме имеет вид , где - матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле
  1   2   3   4



Рефераты Практические задания Лекции
Учебный контент

© ref.rushkolnik.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации