Задача квадратичного программирования с параметром в правых

скачать (523 kb.)

  1   2   3


Реферат
Дипломная работа содержит 78 страниц, 2 приложения, 1 рисунок.

Список ключевых слов: программирование, квадратичное, параметрическое.
В данной работе рассматривается применение метода субоптимизации на многообразиях к решению задачи параметрического квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений, и решению с помощью указанного метода задачи об оптимальном выборе портфеля ценных бумаг. Рассматриваются свойства алгоритма, и обосновывается его применимость к задаче квадратичного программирования.


Содержание

1. Введение 3

2.Аналитический обзор 9

3. Теоретическая часть 11

3. Задача квадратичного программирования (непараметрический случай). 11

3.1 Постановка задачи: 11

3.2 Условия оптимальности в задаче (3.2) 12

3.3. Базис задачи квадратичного программирования. Оптимальный и невырожденный базисы. 15

3.4. Метод субоптимизации на многообразиях. Выпуклый случай. 18

3.5 Метод субоптимизации на многообразиях. Задача квадратичного программирования. 27

3.6. Метод субоптимизации на многообразиях в задаче квадратичного программирования. Теоретическое обоснование. 34

3.7. Вычислительная схема алгоритма субоптимизации для задачи квадратичного программирования. 45

3.8. Некоторые особенности вычислительной схемы метода субоптимизации на многообразиях для задачи квадратичного программирования. 49

4. Задача квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений. 53

4.1 Постановка задачи 53

4.2 Некоторые свойства решения параметрической задачи квадратичного программирования. 53

4.3 Применение метода субоптимизации на многообразиях к решению параметрической задачи квадратичного программирования. 57

5.Экономическая часть 59

6.Библиография 67



1. Введение



В настоящей работе рассматривается применение метода субоптимизации на многообразиях к решению задачи квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений.

Метод субоптимизации на многообразиях, предложенный У.Зангвиллом в 1968 году для решения задач выпуклого программирования представляет собой простую процедуру поиска оптимальной точки в задаче выпуклого программирования с ограничениями типа равенств. Метод использует подход, названный автором "выделением активных ограничений", сводящий исходную задачу выпуклого программирования к определенным образом строящейся последовательности вспомогательных задач выпуклого программирования.

В тех случаях, когда решение вспомогательных задач оказывается существенно проще решения исходной, или вообще очевидным, метод субоптимизации на многообразиях позволяет существенно снизить вычислительную трудоемкость процедуры решения исходной задачи, а также исследовать свойства решения общей задачи на основании общих свойств вспомогательных задач.

В работе показано, что, в случае задачи квадратичного программирования, решение вспомогательных задач сводится к разложению определенным образом выбираемого вектора по некоторому базису, что в свою очередь эквивалентно решению системы линейных уравнений. Таким образом решение исходной задачи оказывается эквивалентным решению конечного числа систем линейных уравнений.

Показано также, что в случае задачи выпуклого программирования решение общей задачи сводится к последовательному решению вспомогательных задач, при переходе между которыми в базисном множестве происходит замена только одного вектора.

В силу этого становится возможным создание рекуррентных формул, связывающих матрицы системы линейных уравнений соседних вспомогательных задач.

Таким образом вместо решения системы линейных уравнений на каждом шаге метода можно вычислять новое решение с помощью соответствующих рекуррентных соотношений, прибегая к непосредственному решению системы линейных уравнений только с целью коррекции накопившейся ошибки вычисления после значительного количества итераций.

В результате вычислительная трудоемкость процедуры оказывается в лучшем случае эквивалентной решению системы линейных уравнений с последующим конечным числом матричных преобразований типа умножения матрицы на вектор. В худшем случае задача оказывается эквивалентной решению конечного числа систем линейных уравнений.

Доказаны теоремы, составляющие теоретический фундамент алгоритма, приведено доказательство сходимости предложенной вычислительной процедуры.

Рассматривается применение указанного метода к решению параметрической задачи квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений, путем сведения указанной задачи к конечному числу задач квадратичного программирования без параметра.

В силу того, что решение параметрической задачи квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений оказывается кусочно-линейной функцией, исходная задача сводится к покрытию области допустимых значений параметра отрезками, на которых функция решения линейна по параметру с постоянными коэффициентами, зависящими только от значения функции в левой точке отрезка.

Показано, что такое разбиение состоит из конечного числа отрезков, и конечного числа точек переключения траектории решения.

Построение такого покрытия в худшем случае эквивалентно решению конечного числа задач квадратичного программирования без параметра в точках переключения траектории. Показаны подходы к построению процедуры перестройки решения в точках переключения траектории без необходимости полного решения задачи квадратичного программирования путем сведения ее к одной или нескольким итерациям метода субоптимизации на многообразиях.

Поставлена задача поиска оптимального вложения в задаче о портфеле ценных бумаг, являющаяся экономической интерпретацией параметрической задачи квадратичного программирования.

Составлена и отлажена программа на языке С++, функционирующая в среде операционных систем UNIX (AIX, Solaris) а также Microsoft Windows, реализующая описанные алгоритмы. Указанная программа применена к решению задачи о поиске оптимальных инвестиций в задаче о портфеле ценных бумаг, данные решения и текст программы приведен в приложениях.

Указаны возможные пути упрощения процедуры поиска решения задачи квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений путем отказа от решения задачи квадратичного программирования в точках переключения траектории.
  1   2   3



Рефераты Практические задания Лекции
Учебный контент

© ref.rushkolnik.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации