Комплексные числа

скачать (3480.2 kb.)

1   2   3

§ 2.


Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел
Целой функцией или алгебраическим многочленом (полиномом) аргумента x называется функция вида
.(1)
Здесь n - степень многочлена (натуральное число или 0),

x - переменная (действительная или комплексная),

a0, a1, …, an - коэффициенты многочлена (действительные или комплексные числа), причем, a0 0

Примеры
;

;

, - квадратный трехчлен;

, ;

.
Определение алгебраического уравнения -й степени
Уравнение называется алгебраическим уравнением n-й степени относительно неизвестной x, если его левая часть является многочленом степени n относительно переменной x:
Pn(x) = 0, (2)
Число х0 такое, что Pn(x0) є 0, называется нулем функции Pn(x) или корнем уравнения .

Примеры

1) - алгебраическое уравнение первой степени,

его корень ;

) - алгебраическое уравнение седьмой степени,

его корни , , .

) числа и являются нулями функции , так как и .

Замечание

В литературе часто нули функции называются ее корнями. Например, числа и называются корнями квадратичной функции .
Основные свойства многочленов (Перечислите основные свойства многочленов)
Свойство 1 (о тождественном равенстве многочленов)

Два многочлена одной степени n тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда совпадают их коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, то есть
(3)

.
Доказательство

w Тождество (3) справедливо при "x О (или "x О )

Ю оно справедливо при ; подставляя , получим аn = bn.

Взаимно уничтожим в (3) слагаемые аn и bn и поделим обе части на x:
.(3’)
Это тождество тоже верно при "x, в том числе при x = 0

Ю полагая x = 0, получим аn - 1 = bn - 1.

Взаимно уничтожим в (3') слагаемые аn - 1 и an - 1 и поделим обе части на x, в результате получим
.
Аналогично продолжая рассуждение, получим, что аn - 2 = bn -2, …, а0 = b0.

Таким образом, доказано, что из тождественного равенства 2-x многочленов следует совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x.

Обратное утверждение справедливо очевидно, т.е. если два многочлена имеют одинаковыми все коэффициенты, то они есть одинаковые функции, следовательно, их значения совпадают при всех значениях аргумента, что и означает их тождественное равенство. Свойство 1 доказано полностью. v

Пример
при .
Свойство 2 (о делении многочлена на разность (x - х0))

Теорема Безу

При делении многочлена Pn(x) на разность (x - х0) получается остаток, равный Pn(x0), то есть
Теорема Безу,(4)
гдеQn - 1(x) - целая часть от деления, является многочленом степени (n - 1).

Доказательство

w Запишем формулу деления с остатком:

(x) = (x - х0)∙Qn - 1(x) + A,
гдеQn - 1(x) - многочлен степени (n - 1),

A - остаток, который является числом вследствие известного алгоритма деления многочлена на двучлен «в столбик».

Это равенство верно при "x, в том числе при x = х0 Ю
Pn(x0) = (x0 - x0)ЧQn - 1(x0) + A Ю

A = Pn(х0), ч.т.д. v
Следствие из теоремы Безу. О делении многочлена на двучлен без остатка

Если число х0 является нулем многочлена, то этот многочлен делится на разность (x - х0) без остатка, то есть
Ю .(5)
Примеры

1) , так как P3(1) є 0

Ю .

) , так как P4(-2) є 0

Ю .

) , так как P2(-1/2) є 0

Ю .
Деление многочленов на двучлены «в столбик»:


_

_
























































_

_






















































































_






















































































































































Свойство 3 (о существовании нуля многочлена)

Теорема алгебры основная

Всякий многочлен степени n і 1 имеет, по крайней мере, один нуль, действительный или комплексный

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.

Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом Pn(x).

После n-кратного применения этих теорем получим, что

,
гдеa0 - это коэффициент при xn в Pn(x).

Следствие из основной теоремы алгебры. О разложении многочлена на линейные множители

Любой многочлен степени на множестве комплексных чисел разлагается на n линейных сомножителей, то есть
Разложение многочлена на линейные множители ,(6)
гдех1, х2, … хn - это нули многочлена.

При этом если k чисел из набора х1, х2, … хn совпадают между собой и с числом a, то в произведении (6) получается множитель (x - a)k. Тогда число x = a называется k-кратным нулем многочлена Pn(x). Если k = 1, то нуль называется простым нулем многочлена Pn(x).

Примеры

)P4(x) = (x - 2)(x - 4)3 Ю x1 = 2 - простой нуль, x2 = 4 - трехкратный нуль;

)P4(x) = (x - i)4 Ю x = i - нуль кратности 4.

Свойство 4 (о количестве корней алгебраического уравнения)

Любое алгебраическое уравнение Pn(x) = 0 степени n имеет на множестве комплексных чисел ровно n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

Примеры

1)x2 - 4x + 5 = 0 - алгебраическое уравнение второй степени

Ю x1,2 = 2 ± = 2 ± i - два корня;

2)x3 + 1 = 0 - алгебраическое уравнение третьей степени

Ю x1,2,3 = - три корня;

3)P3(x) = x3 + x2 - x - 1 = 0 Ю x1 = 1, т.к. P3(1) = 0.

Разделим многочлен P3(x) на (x - 1):


x3

+

x2

-

x

-

1

x - 1

x3

-

x2













x2 + 2x +1







2x2

-

x
















2x2

-

2x






















x

-

1
















x

-

1






















0





Исходное уравнение
P3(x) = x3 + x2 - x - 1 = 0 Ы (x - 1)(x2 + 2x + 1) = 0 Ы (x - 1)(x + 1)2 = 0

Ю x1 = 1 - простой корень, x2 = -1 - двукратный корень.
Свойство 5 (о комплексных корнях алгебраического уравнения с действительными коэффициентами)

Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти нули всегда парные комплексно сопряженные, то есть если x0 = a + bi является корнем уравнения Pn(x) = 0, то число также является корнем этого уравнения.

Доказательство

w нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:

если , то ;

; ; , ;
если - действительное число, то .

Так как является корнем уравнения , то

, где , - действительные числа.

Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:

, то есть число также удовлетворяет уравнению , следовательно, является его корнем, ч.т.д. v

Примеры

1) - парные комплексно сопряженные корни;

) .

Свойство 6 (о разложении многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители)

Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается на произведение линейных и квадратичных функций с действительными коэффициентами.

Доказательство

w Пусть x0 = a + bi - нуль многочлена Pn(x). Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то тоже является его нулем (по свойству 5).

Вычислим произведение двучленов :




комплексный число многочлен уравнение

Получили (x - a)2 + b2 - квадратный трехчлен с действительными коэффициентами.

Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. v

Примеры
1)P3(x) = x3 + 1 = (x + 1)(x2 - x + 1);

)P4(x) = x4 - x3 + 4x2 - 4x = x(x -1)(x2 + 4).
1   2   3

§ 2



Рефераты Практические задания Лекции
Учебный контент

© ref.rushkolnik.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации