Комплексные числа

скачать (3480.2 kb.)

  1   2   3
Содержание
§ 1.Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Определение комплексного числа

Комплексные равенства

Геометрическое изображение комплексных чисел

Модуль и аргумент комплексного числа

Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа

Арифметические действия над комплексными числами

Показательная форма комплексного числа

Формулы Эйлера

§ 2.Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Определение алгебраического уравнения -й степени

Основные свойства многочленов

Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Вопросы для самопроверки

Глоссарий

§ 1.


Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Определение комплексного числа (Сформулируйте определение комплексного числа)



Комплексным числом z называется выражение следующего вида:
Комплексное число в алгебраической форме,(1)
Где x, y О;

i - это мнимая единица, определяемая равенством i2 = -1.

Основные термины:

x = Re z - действительная часть комплексного числа z;

y = Im z - мнимая часть комплексного числа z;

- комплексно сопряженное число числу z;

- противоположное число числу z;

- комплексный ноль;

- так обозначается множество комплексных чисел.

Примеры
1)z = 1 + i Ю Re z = 1, Im z = 1, = 1 - i, = -1 - i;

)z = -1 + i Ю Re z = -1, Im z = , = -1 - i, = -1 -i;

)z = 5 + 0i = 5 Ю Re z = 5, Im z = 0, = 5 - 0i = 5, = -5 - 0i = -5

Ю если Im z = 0, то z = x - действительное число;

4)z = 0 + 3i = 3i Ю Re z = 0, Im z = 3, = 0 - 3i = -3i, = -0 - 3i = - 3i

Ю если Re z = 0, то z = iy - чисто мнимое число.

Комплексные равенства (Сформулируйте смысл комплексного равенства)



1) ;

2) .
Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства разделением действительных и мнимых частей.

Примеры
1) ;

) .

Геометрическое изображение комплексных чисел (В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел?)






Комплексное число z изображается точкой (x, y) на комплексной плоскости или радиус-вектором этой точки.

Знак z во второй четверти означает, что система декартовых координат будет использоваться как комплексная плоскость.

Модуль и аргумент комплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа?)



Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число
.(2)
Геометрически модуль комплексного числа - это длина вектора, изображающего число z, или полярный радиус точки (x, y).

Аргумент комплексного числа z - это угол между положительным направлением действительной оси и вектором z (геометрически - это полярный угол точки (x, y)).

Обозначение , причем , или .

Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула
Аргумент комплексного числа ,(3)
причем, при определении угла по его тангенсу обязательно нужно учитывать, в какой четверти на комплексной плоскости расположено число z:


Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа (Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?)



Так как геометрически очевидно, что и , то
Тригонометрическая форма комплексного числа .(4)
Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа z; запись z = r(cosj + i sinj) называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Примеры

Изобразить на комплексной плоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме.
)z = 1 + i Ю

,

Ю

Ю;

) Ю

,

Ю

Ю;

) Ю

,

Ю

Ю

;

),

;

),

;

),

то есть для z = 0 будет

, j не определен.

Арифметические действия над комплексными числами (Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.)

Сложение (вычитание) комплексных чисел


z1 ± z2 = (x1 + iy1) ± (x2 + iy2) = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2),(5)
то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.

Примеры
1)(1 + i) + (2 - 3i) = 1 + i + 2 -3i = 3 - 2i;

2)(1 + 2i) - (2 - 5i) = 1 + 2i - 2 + 5i = -1 + 7i.
Основные свойства сложения


1)z1 + z2 = z2 + z1;

)z1 + z2 + z3 = (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3);

)z1 - z2 = z1 + (- z2);

)z + (-z) = 0;

5).
Умножение комплексных чисел в алгебраической форме


z1∙z2 = (x1 + iy1)∙(x2 + iy2) = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + i2y1y2 = (6)

= (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + y1x2),
то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой и приведением подобных по действительным и мнимым слагаемым.

Примеры
1)(1 + i)∙(2 - 3i) = 2 - 3i + 2i - 3i2 = 2 - 3i + 2i + 3 = 5 - i;

2)(1 + 4i)∙(1 - 4i) = 1 - 42 i2 = 1 + 16 = 17;

)(2 + i)2 = 22 + 4i + i2 = 3 + 4i.
Умножение комплексных чисел тригонометрической форме
z1∙z2 = r1(cosj1 + isinj1)Чr2(cosj2 + isinj2) =

= r1r2(cosj1cosj2 + icosj1sinj2 + isinj1cosj2 + i2 sinj1sinj2) =

= r1r2((cosj1cosj2 - sinj1sinj2) + i(cosj1sinj2 + sinj1cosj2))

Ю
Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме , то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Пример

Основные свойства умножения

1)z1Чz2 = z2Чz1 - коммутативность;

)z1Чz2Чz3 = (z1Чz2)Чz3 = z1Ч(z2Чz3) - ассоциативность;

)z1Ч(z2 + z3) = z1Чz2 + z1Чz3 - дистрибутивность относительно сложения;

)zЧ0 = 0; zЧ1 = z;

5).
Деление комплексных чисел

Деление - это обратная умножению операция, поэтому

если zЧz2 = z1 и z2 0, то .

При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:
Деление комплексных чисел в алгебраической форме .(7)
При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются:
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме .(8)
Примеры
1);

).
Возведение комплексного числа в натуральную степень

Возведение в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:





В результате получается формула Муавра:
Формула Муавра,(9)
то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример

Вычислить (1 + i)10.

Решение:

Замечания

1. При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов за пределами одного полного оборота. Но их всегда можно свести к углам или сбрасыванием целого числа полных оборотов по свойствам периодичности функций и .

. Значение называют главным значением аргумента комплексного числа ;

при этом значения всех возможных углов обозначают ;

очевидно, что , .
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Корнем степени n из комплексного числа z, где N, называется комплексное число w, такое что wn = z

.

Примеры

, так как ;

, так как ;

или , так как и .

Из определения очевидно следует, что операция извлечения корня из комплексного числа является многозначной.

Если использовать формулу Муавра, то нетрудно доказать следующее утверждение:

существует при "z и если z 0, то имеет n различных значений, вычисляемых по формуле
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа ,(10)
где,

- арифметический корень на .

Все значения расположены регулярным образом на окружности радиусом с начальным углом и углом регулярности .

Примеры
1)

, k = 0, 1, 2 Ю

Ю,

,

.
Ответ:

2) ,

.

Показательная форма комплексного числа



Показательной формой комплексного числа называется форма
Показательная форма комплексного числа,(11)
где.

Примеры
1);

);

) .
Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам действий со степенями:
,(12)

,(13)

,(14)

, .(15)
Примеры
Пусть ,

.

Тогда ;

;

;

,



Числа являются вершинами правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса .
Формулы Эйлера
Используем определение Ю ,

так как , .

Из этих равенств следуют формулы Эйлера
Формулы Эйлера(16)
по которым тригонометрические функции и действительной переменной выражаются через показательную функцию (экспоненту) с чисто мнимым показателем.

  1   2   3



Рефераты Практические задания Лекции
Учебный контент

© ref.rushkolnik.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации