Новые реалии в физическом содержании великих уравнений электродинамики Максвелла

скачать (2217.4 kb.)

  1   2
НОВЫЕ РЕАЛИИ В ФИЗИЧЕСКОМ СОДЕРЖАНИИ

ВЕЛИКИХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА
Сидоренков В.В.

МГТУ им. Н.Э. Баумана
На основе анализа традиционных электродинамических уравнений Максвелла выявлены принципиально новые реалии в их физическом содержании, иллюстрирующие подлинное величие и грандиозные скрытые возможности этих уравнений в отношении полноты охвата явлений электромагнетизма, в итоге тем самым удалось провести модернизацию концептуальных представлений классической электродинамики о структуре и свойствах электромагнитного поля, которое является лишь только одной из равноправных составляющих векторного четырехкомпонентного единого электродинамического поля.
Общепринято считать, что все известные явления электромагнетизма обусловлены существованием и взаимодействием с материальными средами электромагнитного поля, с двумя векторными компонентами электрической магнитной напряженности. Свойства этого поля физически полно и математически исчерпывающе описываются системой взаимосвязанных электродинамических уравнений, первоначальная форма и структура которых была сформулирована Максвеллом [1]. Максвелл прожил короткую (48 лет) жизнь, и свои гениальные уравнения он так и не успел привести в единую логически систему. К сожалению, при жизни его теория электромагнитного поля не нашла должного признания в научной среде, более того у некоторых коллег отношение к ней было почти враждебным, вплоть до полного неприятия: она считалась непонятной, математически нестрогой и логически необоснованной.

Впоследствии, после триумфа теории Максвелла - открытия электромагнитных волн (Герц, 1888г), система этих уравнений была модернизирована Герцем и Хевисайдом, где по существу новации заключались лишь в уменьшения числа (с 8 до 4) исходных уравнений системы. Однако если говорить о положительном эффекте такой модификации, то он заключался в том, что в новом варианте уравнения были для того времени концептуально логически обозримы и физически более последовательны, имели удобный математически векторный вид и в определенной мере законченную форму. В современном окончательном виде именно эту модифицированную систему уравнений [2]:

(a) , (b) ,

(c) , (d) , (1)

и стали называть уравнениями Максвелла классической электродинамики. Здесь векторы напряженности электрического и магнитного полей связаны посредством материальных соотношений:

, , , (2)

с векторами электрической и магнитной индукций, вектором плотности электрического тока , которые представляют собой отклик среды на наличие в ней электромагнитного поля. Соответственно, - объемная плотность стороннего заряда, и - электрическая и магнитная постоянные, - удельная электрическая проводимость, относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

Принципиальная особенность этих динамических релятивистски инвариантных уравнений (1) состоит в том, что в их структуре заложена отражающая обобщение опытных данных основная аксиома классической электродинамики - неразрывное единство переменных во времени электрической и магнитной компонент такого поля, которое и называют электромагнитным полей. Прямым фундаментальным следствием уравнений Максвелла является вывод о том, что описываемое ими электромагнитное поле распространяется в свободном пространстве посредством поперечных волн, скорость которых определяется лишь электрическими и магнитными параметрами среды, заполняющей это пространство (например, в отсутствие поглощения ). Совместное решение уравнений системы (1) позволяет также ответить на вопрос, что переносят эти волны и получить аналитическую формулировку закона сохранения электромагнитной энергии:

, (3)

согласно которому поток электромагнитной энергии компенсирует в данной точке среды джоулевы (тепловые) потери за счет электропроводности (первое слагаемое в правой части) и изменяет электрическую и магнитную энергии, либо наоборот: процессы, описываемые правой частью соотношения (3), порождают поток . При этом характеризующий энергетику данного явления вектор Пойнтинга плотности потока электромагнитной энергии , связанный с вектором объемной плотности электромагнитного импульса , отличен от нуля только там, где одновременно присутствуют электрическая и магнитная компоненты поля, векторы и которых неколлинеарны.

Однако следует указать и на весьма ограниченный диапазон явных возможностей уравнений (1), поскольку в их рамках в принципе нельзя представить раздельное существование чисто электрических либо магнитных волн, переносящих электродинамические потоки только электрической или только магнитной энергии, хотя процессы соответствующей поляризации сред наблюдаются в эксперименте, существуют раздельно и энергетически друг от друга независимы. Кроме того, далеко не ясен вопрос о физической реализации момента импульса электромагнитного поля, соответственно, переносящих его волн, и как это явление соотносится с уравнениями Максвелла. Заметим, что еще со времен Пойнтинга его безуспешно пытаются описать этими уравнениями (см., например, результаты анализа в статье [3]).

В этой связи попытаемся аргументированно прояснить сложившуюся ситуацию, для чего продолжим далее модернизацию теперь уже уравнений (1), где нашей основной задачей будет выявление концептуально новых реалий в физическом содержании уравнений Максвелла, иллюстрирующих величие и грандиозные скрытые возможности этих уравнений в отношении полноты охвата наблюдаемых в Природе явлений электромагнетизма.

Поскольку «все новое – это хорошо забытое старое», то обратимся к физическим представлениям о векторном потенциале электромагнитного поля, который, по словам Максвелла [1], “может быть признан фундаментальной величиной в теории электромагнетизма”. Однако в наше время векторные потенциалы как физическую реальность по существу не рассматривают, им отводят лишь роль вспомогательной математической функции, в ряде случаев упрощающей вычисления. Такой общепринятый сегодня взгляд на векторные потенциалы берет начало от Герца и Хевисайда, о чем прямо говорится в цитате из статьи Герца (перевод в [4]): “… мне не кажется, что какая либо выгода достигается при введении векторного потенциала в фундаментальные уравнения; более того, хотелось бы видеть в этих уравнениях связь между физическими величинами, которые можно наблюдать, а не между величинами, которые служат лишь для вычислений ”. Не доводя до абсурдной абсолютизации мнение классика, в целом с этим приходится согласиться, так как такой взгляд обусловлен взаимно неоднозначной связью полей и их потенциалов, не допускающей прямых измерений последних, но, что еще более важно, использование векторных потенциалов строго в рамках уравнений Максвелла не приводит в явном виде к дополнительным, не известным прежде следствиям.

Удивительно, но это табу на развитие физических представлений в классической электродинамике существует со времен Герца, и его продолжают настоятельно культивировать уже более века. Другое подобное табу - это завидное упорство в применении инородной электродинамике гауссовой системы единиц, где по существу игнорируется физическое содержание электродинамических соотношений и выдвигается на передний план формализм математики, что создает путаница физических понятий и мешает действительно разобраться в них. Конкретный пример такого «математического шабаша» в электромагнетизме можно встретить даже в учебниках, когда без разбора пишут, кстати, не считаясь с мнением Максвелла ([1] п. 12, 14), как «» так и «» либо «» и «». Вызывает недоумение неприятие до сей поры и логически необъяснимый корпоративный снобизм многих профессиональных физиков в отношении к широко используемой в технических дисциплинах международной системы единиц СИ. По нашему мнению, налицо полный концептуальный застой и даже стагнация в теории электромагнетизма. При этом, несмотря на все вышесказанное, опять же в учебной литературе повсеместно с помпой утверждается, что именно данная область физического знания наиболее полно разработана во всех ее аспектах и является вершиной человеческого гения.

Однако к настоящему времени исследованиями в области электродинамики, квантовой механики, сверхпроводимости достоверно установлено, что в фундаментальных уравнениях должны фигурировать не электромагнитные поля, а именно их потенциалы. В частности, эффекты Ааронова-Бома, Джозефсона, Мейснера реализуются в поле магнитной компоненты векторного потенциала [4], проявляющего себя тем самым вполне наблюдаемой физической величиной. Известно предложение о применении указанного поля векторного потенциала в технологиях обработки разного рода материалов [5]. Отметим также сообщение [6], где на основе формального использования представлений об электромагнитном векторном потенциале металлического проводника с током установлено, что в проводник при электропроводности вместе с потоком электромагнитной энергии (вектора Пойнтинга) поступают потоки чисто электрической и чисто магнитной энергии, момента электромагнитного импульса. Таким образом, имеем серьезную, необходимо требующую разрешения проблему, в которой надо должным образом проанализировать известные либо вскрыть новые реалии в физическом содержании уравнений Максвелла, в частности, понять роль и место векторных потенциалов в явлениях электромагнетизма. Покажем, как это можно сделать!

Поставленная задача и проведенный в этом направлении анализ показал, что исходные соотношения первичной взаимосвязи электромагнитного поля с компонентами и напряженностей и поля электромагнитного векторного потенциала с электрической и магнитной компонентами можно действительно получить при использовании непосредственно системы максвелловских уравнений (1):

(a) , (b) ,

(c) , (d) . (4)

Здесь соотношение (4a) для магнитной компоненты векторного потенциала вводится с помощью уравнения (1d), так как дивергенция ротора произвольного векторного поля тождественно равна нулю. Аналогично соотношение (4b) для электрической компоненты векторного потенциала следует из уравнения (1b) при , справедливого для сред с локальной электронейтральностью. Однозначность функций векторного потенциала, то есть чисто вихревой характер таких полей, обеспечивается условием кулоновской калибровки: div. Далее подстановка соотношения (4a) для в уравнение вихря электрической напряженности (1a) приводит к известной формуле (4с) связи полей векторов и [2], описывающей закон электромагнитной индукции Фарадея. Поскольку мы рассматриваем только вихревые поля, то формально следующий из таких рассуждений электрический скалярный потенциал здесь не рассматривается. Аналогичная подстановка соотношения (4b) для в уравнение вихря магнитной напряженности (1c) с учетом соотношений (2) дает формулу (4d) связи полей векторов и , где - постоянная времени релаксации электрического заряда в среде за счет ее электропроводности.

Как видим, полученные соотношения являются основой для интерпретации физического смысла поля электромагнитного векторного потенциала (см. работу [7]), выяснения его роли и места в явлениях электромагнетизма. Однако самое главное и конструктивно перспективное в них то, что они представляют собой логически связанную систему дифференциальных уравнений, описывающих свойства необычного вихревого векторного поля, состоящего их четырех полевых векторных компонент , , и , которое условно назовем единое электродинамическое поле.

Объективность существования указанного единого поля однозначно и убедительно иллюстрируется основным фундаментальным следствием из соотношений (4), которое состоит в том, что подстановки (4c) в (4b) и (4d) в (4a) приводят к системе новых электродинамических уравнений для поля электромагнитного векторного потенциала с электрической и магнитной компонентами. Видно, что математически структура этих уравнений, полностью аналогична системе традиционных уравнений электродинамики Максвелла (1):

(a) rot, (b) div,

(c) rot, (d) div. (5)

Чисто вихревой характер компонент и поля векторного потенциала обеспечивается условием калибровки посредством дивергентных уравнений (5b) и (5d), которые также представляют собой для уравнений (5a) и (5c) начальные условия в математической задаче Коши, что делает систему (5) замкнутой. Неординарность уравнений системы (5) вполне очевидна, поскольку в каждом одном роторном уравнении компоненты потенциала или содержится информация о свойствах обоих роторных уравнений электромагнитных полей и системы (1). Убедиться в этом посредством дифференцирования по времени и пространству этих уравнений с учетом соотношений (4) предоставим читателю. Дивергентные уравнения системы (5) с помощью дифференцирования их по времени преобразуются в соответствующие уравнения системы (1) при .

Однако вернемся к соотношениям (4) единого электродинамического поля. Подстановки соотношения (4с) в продифференцированное по времени соотношение (4a) и аналогично (4d) в (4b) дают систему электродинамических уравнений электромагнитного поля (1) при , где уравнения (1d) и (1b) получаются взятием дивергенции от (4a) и (4b). Уравнения (1а) и (1с) можно также получить, если взять ротор от (4с) и (4d) при подстановке в них (4а) и (4b).

Применение операции ротора к (4c) и подстановка в него (4a) с учетом (4d) преобразует систему (4) в еще одну систему теперь уже уравнений электрического поля с компонентами напряженности и векторного потенциала :

(a) rot, (b) div,

(c) rot, (d) div. (6)

Соответственно взятие ротора от соотношения (4d) и подстановка в него (4b) с учетом (4c) снова преобразует систему соотношений (4) в еще одну новую систему уравнений классической электродинамики систему уравнений магнитного поля с компонентами напряженности и векторного потенциала :

(a) rot, (b) div,

(c) rot, (d) div. (7)

Сделаем общее математическое замечание о дивергентных уравнениях во всех системах. Как уже говорилось, уравнения div являются калибровкой, обеспечивающей однозначность функции векторного потенциала , поэтому, согласно симметрии уравнений в рассматриваемых системах, другие дивергентные уравнения: (1b) при , (1d), (6b) и (7b) с математической точки зрения также следует считать соответствующими калибровками для функций вихревых полей и .

Проведем анализ полученных выше систем уравнений [8], специфика которых состоит в том, что, являясь модификацией уравнений Максвелла электромагнитных полей, они справедливы теперь в таких областях пространства, где присутствуют одновременно поля и их векторные потенциалы, либо только потенциалы. Согласно структуре представленных уравнений, описываемые ими поля распространяются в пространстве в виде волн, скорость которых определяется электрическими и магнитными параметрами среды, заполняющей это пространство: , и . В этом можно убедиться, взяв, как обычно, ротор от одного из роторных уравнений системы, и после чего подставить в него другое роторное уравнение той же системы. В качестве иллюстрации получим, например, для системы (6) волновое уравнение относительно :

rot rot grad divrot ,

где, согласно (6b), div, а ? – оператор Лапласа. Таким образом, имеем теперь волновые уравнения не только для электромагнитных полей и , но и для их векторных потенциалов и в парных комбинациях этих четырех уравнений в зависимости от системы. В итоге возникает физически очевидный, принципиальный вопрос: какие это волны, и что они переносят? Результаты подробного изучения особенностей распространения составляющих единого электродинамического поля в виде плоских волн в материальных средах изложено в публикации [9]. В настоящей работе для нас представляет наибольший интерес прояснить физическое содержание рассматриваемых здесь систем электродинамических уравнений.

Подобно вектору Пойнтинга плотности потока электромагнитной энергии полей системы уравнений (1) рассмотрим другой потоковый вектор , который, судя по размерности, описывает электрическую энергию, приходящуюся на единицу площади поверхности. Для аргументированного обоснования возможности существования такого вектора и установления его статуса воспользуемся уравнениями системы (6) и с помощью стандартных вычислений (см. (3)) получим

(8)

- соотношение, описывающее энергетику реализации процесса электрической поляризации среды в данной точке. Как видим, уравнения электрического поля системы (6) описывают чисто электрические явления, в том числе, поперечные электрические волны, переносящие поток электрической энергии.

Аналогичным образом можно ввести еще один потоковый вектор , размерность которого соответствует поверхностной плотности магнитной энергии в соотношении, описывающем энергетику процесса намагничивания среды в данной точке:

.
  1   2



Рефераты Практические задания Лекции
Учебный контент

© ref.rushkolnik.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации