Решение задач по высшей математике

скачать (5255 kb.)

  1   2   3   4



КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Решение задач по высшей математике

Задача 1
Вычислить определители:
;

.
Решение
,


Задача 2
Вычислить определитель:
.

Решение
Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца
.
Задача 3
Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение
Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения :
;

;

;

;

;

;

;

;

;

.
Ответ: Обратная матрица имеет вид:
.
Задача 4
С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
.

Решение
Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю строку на , а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим
.
Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем


.
Ответ: Ранг матрицы равен двум.
Задача 5
Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:

;
Решение
Вычислим главный определитель системы и вспомогательные определители , ,.
.

;

;

.
По формуле Крамера, получим
;

; .

Задача 6
Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение.

Решение
Матрица и имеют вид






,

.
Их ранги равны . Система совместна. Выделим следующую подсистему

Считая и известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид

; ,
где , - могут принимать произвольные значения. Пусть , где Тогда ответом будет служить множество



Задача 7
Даны начало и конец вектора . Найти вектор и его длину.
Решение
Имеем , откуда или .

Далее , т.е. .
Задача 8
Даны вершины треугольника , и . Найти с точность до угол при вершине .

Решение
Задача сводится к нахождению угла между векторами и :
, ; . Тогда , .
Задача 9
Даны вершины треугольника , и . Вычислить площадь этого треугольника.
Решение
Так как площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. , то . Найдем векторы и :
; ; .
Вычислим их векторное произведение:
,

,
Откуда
. Следовательно, (кв. ед.).
Задача 10
Даны вершины треугольной пирамиды , , и . Найти ее объем.
Решение
Имеем , и . Найдем векторное произведение
,

.
Этот вектор скалярно умножим на вектор :
.
Это смешанное произведение можно найти непосредственно по приведенной формуле:



.
Следовательно, объем:
, (куб. ед.).
Задача 11
Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .
Решение
За первую вершину примем (на результат это не влияет); следовательно,
,

,

,

.
  1   2   3   4



Рефераты Практические задания Лекции
Учебный контент

© ref.rushkolnik.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации