Двойной интеграл в полярных координатах

скачать (409 kb.)

Двойной интеграл в полярных координатах




    П
    усть в двойном интеграле

    (1)

    при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos , y = r sin . (2)


    Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и  = i (лучи) (рис.1).

    Введем обозначения:

    rj = rj+1 - rj,

    i = i+1 - i

    Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка

    малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

    Si = rj i rj (3)

    Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

    В качестве точки Mij  Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos i, yij = rj sin i.


И следовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i) (3')


    Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

    интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), п
    олучаем:

    (4)

    где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

    f(r cos, r sin)r,

    с
    оответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно

    (5)

    С
    равнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

    (6)

    Выражение

    dS = r d dr

    называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

    Д
    ля вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

    Где r1(), r1() - однозначные непрерывные функции на отрезке [,]. (рис 2).

    Имеем




    (8)

    Где

    F(r,) = rf(r cos, r sin)

    Пример 1.

    П
    ереходя к полярным координатам  и r, вычислить двойной интеграл

    Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

    Так как

    т
    о применяя формулу (6),

    п
    олучим

    Область S определена

    Неравенствами

    П

    оэтому на основании формулы (8) имеем

    Пример 2.

    В
    интеграле

    (9)

    перейти к полярным координатам.

    Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

    В полярных координатах уравнения

    этих прямых записываются

    следующим образом: =0,

    =/4, r cos=1 и,

    следовательно, область S

    определяется неравенствами

    О
    тсюда на основании формул

    (6) и(8), учитывая, что

    и

    меем



Рефераты Практические задания Лекции
Учебный контент

© ref.rushkolnik.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации