Комплексные числа и матрицы

скачать (3836.2 kb.)

  1   2
1. Дано комплексное число а
Требуется

) Записать число а в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

) Найти все корни уравнения z3 + а = 0 и изобразить их на комплексной плоскости.
а =
Решение:

Преобразуем заданное число, умножив числитель и знаменатель на сопряженное число :
а = = = = 1 + i
Воспользуемся двумя формами записи комплексных чисел - показательной и алгебраической:
= A exp(j?) = A1 + jA21 = A*cos?; A2 = A*sin?;

A = ; ? =

А = = = 2

? = arctg(1/) = 300 = ?/6
Таким образом, алгебраическая запись числа а:


а = 1 + i
комплексная запись числа а:
а = 2ехр{i*300}
тригонометрическая запись числа а: а = 2(сos(?/6) + i*sin(?/6))

решим уравнение:
z3 + 1 + i = 0

z3 = - 1 - i
Воспользуемся формулой:
zn =

n = 3 и k = 1, 2, 3

A = 2

? = arctg(-1/) = ?/6 + ? = , тогда
Следовательно корни третей степени будут:
Z1 = =

Z2 =

Z3 = =


Для изображения корней на комплексной плоскости запишем для удобства их в виде
Z1 = =

Z2 =

Z3 = =

2. Найти неизвестную матрицу Х из заданного уравнения
Х = + 2
Решение.

Произведем действия над матрицами в правой части уравнения: умножение на число и сложение:
+ 2 = + =


Получаем уравнение
Х =
или в операторной форме:

АХ = В, тогда

Х = А-1В

здесь А-1 - обратная матрица

найдем обратную матрицу для А =

Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij. Первый индекс i обозначает номер строки , а второй j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij.

=
Обратную матрицу A-1, будем искать в следующем виде:

где Aij = ( -1 ) i+j * M ij

М ij это минор элемента а ij, т.е. определитель , полученный вычеркиванием из матрицы А строки с номером i и столбца с номером j. А ij - это алгебраическое дополнение элемента а ij, или, проще говоря, минор взятый с определенным знаком. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij четная , то алгебраическое дополнение это минор. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij нечетная , то алгебраическое дополнение это минор, взятый со знаком минус. Математически это выражается выражением ( -1 )i+j. Не забудьте обратить внимание на индексы алгебраических дополнений в обратной матрице.

Найдем определитель матрицы А.

A = = 1 * ( -1) - ( -1) * 2 = ( -1) - ( -2) = 1
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A-1 существует.

Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11 . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

=
Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M11 ) элемента a11.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a11, есть число четное ( 1 + 1 = 2 ) и выражение ( -1 )1+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a11 равно минору данного элемента.

11 = ( -1 ) 1+1 * M 11 = ( -1 ) 1+1 * ( -1) = -1
Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12 . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

=
Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M12 ) элемента a12.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a12, есть число нечетное ( 1 + 2 = 3 ) и выражение ( -1 )1+2 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a12 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

12 = ( -1 ) 1+2 * M 12 = ( -1 ) 1+2 * 2 = -2
Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21 . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.

=
Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M21 ) элемента a21.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a21, есть число нечетное ( 2 + 1 = 3 ) и выражение ( -1 )2+1 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a21 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

21 = ( -1 ) 2+1 * M 21 = ( -1 ) 2+1 * ( -1) = 1
Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.

=
Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M22 ) элемента a22.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a22, есть число четное ( 2 + 2 = 4 ) и выражение ( -1 )2+2 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a22 равно минору данного элемента.

22 = ( -1 ) 2+2 * M 22 = ( -1 ) 2+2 * 1 = 1
Осталось, только записать обратную матрицу.

-1 = 1 / 1 * -1 =
Таким образом получаем
Х= *
Произведем умножение матриц:
Х = * = = =
Окончательно получаем
Х =


3. Вычислить определитель четвертого порядка



Решение:

Используем следующее свойство определителя :

Если к элементам строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель, то значение определителя не изменится. Для столбцов все аналогично.

Если в какой-нибудь одной строке или одном столбце присутствует только один элемент, отличный от нуля, то преобразовывать определитель нет необходимости. В противном случае, предварительно преобразуем определитель перед разложением.

Найдем det A.
-7 0 2 =

det A = 1 -2 3 17

-1 5 0

-4 2 -5
К элементам столбца 1 прибавляем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 3.
-7 0 2 =

= -5 -2 3 17

-1 5 0

-4 2 -5


К элементам столбца 3 прибавляем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 5.
-7 -35 2 =

= -5 -2 -7 17

-1 0 0

-4 -18 -5
Разлагаем определитель по элементам третьей строки.
-35 2 +

= ( - 1 )3+1 * 0* -2 -7 17

-18 -5

-35 2 +

( - 1 )3+2 * ( -1) * -5 -7 17

-18 -5

-7 2 +

( - 1 )3+3 * 0* -5 -2 17

-4 -5

-7 -35 =

( - 1 )3+4 * 0* -5 -2 -7

-4 -18

-35 2

= 1* -5 -7 17

-18 -5

= 1 detC1 = 1 * 7 = 7

-35 2 == -5 -7 17

-18 -5


Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2 , умноженные на 3.
-14 -49 =

= -5 -7 17

-18 -5
Разлагаем определитель по элементам первой строки.
17 +

= ( - 1 )1+1 * 0* -18 -5

17 +

( - 1 )1+2 * ( -14) * -7 -5

-7 =

( - 1 )1+3 * ( -49) * -7 -18

=14* -5 17 +

-5

=(-49)* -5 -7 =

-18

= 14* ( ( -5) * ( -5) - 17 * ( -7) ) +( -49) * ( ( -5) * ( -18) - ( -7) * ( -7) ) =

= 14 * 144 + ( -49) * 41 = 7
Ответ: А = 7

комплексный матрица уравнение определитель

4. Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить ее

а)по формулам Крамера;

б) методом обратной матрицы;

в) методом Гаусса.



Решение:

Система совместима, если ее главный детерминант не равен нулю.
Det A = = 1*{(-2)*1-1*(-1)}+4*{6*1-5*1}+3*{6*(-1)-5*1} = 15
Система совместима, следовательно, она имеет единственное решение и матрица главного детерминанта имеет обратную.

а) МЕТОД КРАМЕРА

Имеем расширенную матрицу:

Найдем det A1 ПОДРОБНО

Определитель det A1 получается из определителя det A , путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
-4 3 =A1 = 5 -2 1

-1 1
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3 .


2 -4 3 =

= -1 -1 0

-1 1
Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2 .
-4 3 =

= 0 -1 0

-1 1
Разлагаем определитель по элементам второй строки.
= ( - 1 )2+1 * 0* -4 3 +

1

( - 1 )2+2 * ( -1) * 6 3 +

1

( - 1 )2+3 * 0* 6 -4 =

-1

= ( -1) * 6 3 =

1

= ( -1) * ( 6 * 1 - 3 * 7 ) = ( -1) * ( -15) = 15
Найдем det A2

Определитель det A2 получается из определителя det A , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.


1 2 3 =A2 = 6 5 1

6 1
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3.
2 3 =

= 1 -1 0

6 1
К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 1.
3 3 =

= 1 0 0

11 1
Разлагаем определитель по элементам второй строки.
3 +

= ( - 1 )2+1 * 1* 11 1

3 +

( - 1 )2+2 * 0* 5 1

3 =

( - 1 )2+3 * 0* 5 11

3 =

= ( -1) * 11 1

= ( -1) * ( 3 * 1 - 3 * 11 ) = ( -1) * ( -30) = 30


Найдем det A3

Определитель det A3 получается из определителя det A , путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
-4 2 =A3 = 6 -2 5

-1 6
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2.
-4 2 =

= -4 0 -7

-1 6
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 4.
0 -22 =

= -4 0 -7

-1 6
Разлагаем определитель по элементам второго столбца.
-4 -7 +

= ( - 1 )1+2 * 0* 5 6

-22 +

( - 1 )2+2 * 0* 5 6

-22 =

( - 1 )3+2 * ( -1) * -4 -7

-22 =

=1* -4 -7

= 1* ( ( -19) * ( -7) - ( -22) * ( -4) ) = 1 * 45 = 45= det A1 / det A = 15 / 15 = 1= det A2 / det A = 30 / 15 = 2 = det A3 / det A = 45 / 15 = 3
б) МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Запишем систему уравнений в матричной форме

* X = B

*
  1   2



Рефераты Практические задания Лекции
Учебный контент

© ref.rushkolnik.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации